手机开机后显示行程的时间主要取决于行程码的更新机制。根据现有的信息，可以得出以下结论：
至少需要4小时：
手机开机后，至少需要等待4小时以上，行程码才会有行程记录。这是因为行程卡的定位记录是根据行程实时定位的，关机后就无法定位，因此开机后需要一段时间来累积足够的定位数据。
同步时间预计6小时：
除了开机后需要等待4小时外，行程码的同步时间预计还需要6个小时左右。这意味着从手机开机开始算起，到行程码最终显示行程，可能需要等待大约10个小时。
满足14天要求：
另外，行程卡的要求是需要满足14天。也就是说，新办的手机卡不会立即显示行程，需要等到14天之后才可以查询到行程信息。
驻留4小时以上：
如果在某个地方停留超过4小时，并且在此期间使用手机打过电话或使用移动流量，那么可以通过手机软件扫码进入查询页面，查询到用户在前14天内国内停留4小时的城市与国外到访的国家。
综上所述，手机开机后显示行程的时间至少需要4小时，并且可能需要等待更长时间（如10小时）以确保行程记录的准确性和完整性。此外，新办的手机卡需要等待14天才能显示行程信息。